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chapter_overview_prompt Mathematics Mathematics – VIII Linear Equations in One Variable You are an expert CBSE teacher. Create a complete overview for Class 8 Mathematics, Book Mathematics – VIII, Chapter Linear Equations in One Variable. Include introduction, importance, key themes, and what the student will learn. Output JSON with keys: overview (string), summary_points (list). You exceeded your current quota, please check your plan and billing details. For more information on this error, read the docs: https://platform.openai.com/docs/guides/error-codes/api-errors.

1. If 7x − 3 = 2x + 12, what is the value of x? / यदि 7x − 3 = 2x + 12, तो x का मान क्या है? (a) x = 2 / x = 2 (b) x = 3 / x = 3 (c) x = 4 / x = 4 (d) x = 5 / x = 5
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   (b) 7x − 3 = 2x + 12 → 5x = 15 → x = 3. Subtracting 2x and adding 3 to both sides gives 5x = 15, so x = 3. / 7x − 3 = 2x + 12 → 5x = 15 → x = 3। दोनों पक्षों से 2x घटाने और 3 जोड़ने पर 5x = 15 मिलता है, अतः x = 3।

2. The perimeter of a rectangle is 40 cm. If the length is twice the breadth, what is the breadth? / एक आयत का परिमाप 40 सेमी है। यदि लंबाई चौड़ाई की दोगुनी है, तो चौड़ाई क्या है? (a) 5 cm / 5 सेमी (b) 6 cm / 6 सेमी (c) 8 cm / 8 सेमी (d) 10 cm / 10 सेमी
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   (c) Let breadth = x, length = 2x. Perimeter: 2(x + 2x) = 40 → 6x = 40 → x = 20/3 cm ≈ 6.67 cm. This tests writing and solving a linear equation from a word problem. / माना चौड़ाई = x, लंबाई = 2x। परिमाप: 2(x + 2x) = 40 → 6x = 40 → x = 20/3 सेमी ≈ 6.67 सेमी। यह एक शब्द समस्या से रैखिक समीकरण लिखने और हल करने की जाँच करता है।

3. When we transpose a term from one side of an equation to the other, its sign: / जब हम किसी समीकरण के एक पक्ष से दूसरे पक्ष पर एक पद को स्थानांतरित करते हैं, तो उसका चिह्न: (a) Remains the same / वही रहता है (b) Changes (+ becomes − and vice versa) / बदल जाता है (+ से − और − से +) (c) Becomes zero / शून्य हो जाता है (d) Doubles / दोगुना हो जाता है
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   (b) When transposing, the sign changes: a positive term becomes negative and vice versa. This is because we are performing the inverse operation to maintain equality. / स्थानांतरण करते समय चिह्न बदल जाता है: धनात्मक पद ऋणात्मक और ऋणात्मक पद धनात्मक हो जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि हम समानता बनाए रखने के लिए व्युत्क्रम संक्रिया करते हैं।

4. An equation is like a balance scale — whatever you do to one side, you must do the ________ to the other side. / एक समीकरण एक तुला-पटल की तरह है — आप एक पक्ष के साथ जो करते हैं, वही ________ आपको दूसरे पक्ष के साथ भी करना होगा।
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   same / वही — The principle of equality states that both sides of an equation must always be equal; any operation performed on one side must be performed on the other. / समानता का सिद्धांत कहता है कि समीकरण के दोनों पक्ष हमेशा बराबर होने चाहिए; एक पक्ष पर की गई कोई भी संक्रिया दूसरे पक्ष पर भी की जानी चाहिए।

5. The solution of a linear equation is the value of the variable that makes the equation ________. / एक रैखिक समीकरण का हल चर का वह मान है जो समीकरण को ________ बनाता है।
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   true / satisfied / सत्य / संतुष्ट — The solution (or root) of an equation is the value that, when substituted for the variable, makes both sides equal. / एक समीकरण का हल (या मूल) वह मान है जो, जब चर के स्थान पर रखा जाता है, दोनों पक्षों को बराबर बनाता है।

6. True or False: x = −3 is a valid solution to a linear equation in one variable. / सत्य या असत्य: x = −3 एक चर वाले रैखिक समीकरण का एक वैध हल है।
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   True / सत्य — Variables in linear equations can take any real value including negative numbers; x = −3 is perfectly valid. For example, x + 5 = 2 has solution x = −3. / रैखिक समीकरणों में चर ऋणात्मक संख्याओं सहित कोई भी वास्तविक मान ले सकते हैं; x = −3 बिल्कुल वैध है। उदाहरण: x + 5 = 2 का हल x = −3 है।

7. Solve: (2x + 1)/3 = (x − 2)/2. Show all steps. / हल करें: (2x + 1)/3 = (x − 2)/2। सभी चरण दिखाइए।
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   Cross multiply: 2(2x+1) = 3(x−2) → 4x+2 = 3x−6 → 4x−3x = −6−2 → x = −8. Verification: LHS = (2(−8)+1)/3 = (−15)/3 = −5. RHS = (−8−2)/2 = (−10)/2 = −5. LHS = RHS ✓ / आड़ा गुणा करें: 2(2x+1) = 3(x−2) → 4x+2 = 3x−6 → 4x−3x = −6−2 → x = −8। जाँच: LHS = (2(−8)+1)/3 = −15/3 = −5। RHS = (−8−2)/2 = −10/2 = −5। LHS = RHS ✓

8. A man is three times as old as his son. Five years later, the man will be twice as old as his son. Find their present ages. / एक व्यक्ति अपने पुत्र से तीन गुना बड़ा है। पाँच वर्ष बाद, व्यक्ति अपने पुत्र से दोगुना बड़ा होगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
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   Let son's age = x years, man's age = 3x years. Five years later: son = x+5, man = 3x+5. Condition: 3x+5 = 2(x+5) → 3x+5 = 2x+10 → x = 5. Son's present age = 5 years, man's age = 15 years. / माना पुत्र की आयु = x वर्ष, व्यक्ति की आयु = 3x वर्ष। पाँच वर्ष बाद: पुत्र = x+5, व्यक्ति = 3x+5। शर्त: 3x+5 = 2(x+5) → 3x+5 = 2x+10 → x = 5। पुत्र की वर्तमान आयु = 5 वर्ष, व्यक्ति की आयु = 15 वर्ष।