Chapter 13 — Surface Areas And Volumes

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1. Distinguish between the total surface area and the curved (lateral) surface area of a solid. / किसी ठोस के संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और वक्र (पार्श्व) पृष्ठीय क्षेत्रफल में अंतर बताइए।
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   The curved (lateral) surface area is the area of only the curved or side surfaces, while the total surface area includes the curved surface plus the areas of the flat faces (such as the circular bases of a cylinder or cone). / वक्र (पार्श्व) पृष्ठीय क्षेत्रफल केवल वक्र या पार्श्व सतहों का क्षेत्रफल है, जबकि संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में वक्र सतह के साथ-साथ समतल फलकों (जैसे बेलन या शंकु के वृत्ताकार आधार) का क्षेत्रफल भी शामिल होता है।

2. When two solids are combined, why is the surface area of the combination not equal to the simple sum of the surface areas of the two solids? / जब दो ठोस जोड़े जाते हैं, तो संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों के सरल योग के बराबर क्यों नहीं होता?
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   Because the faces where the two solids join are hidden inside the combined solid and no longer form part of its exposed surface, so the joined areas must be excluded from the total surface area. / क्योंकि जिन फलकों पर दोनों ठोस जुड़ते हैं वे संयुक्त ठोस के भीतर छिप जाते हैं और उसकी उद्घाटित सतह का भाग नहीं रहते, अतः जुड़े हुए क्षेत्रफलों को संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल से हटाना पड़ता है।

3. Find the volume of a cylinder of radius 7 cm and height 10 cm. (Use π = 22/7) / 7 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाले बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए)
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   Volume = πr²h = (22/7) × 7 × 7 × 10 = 22 × 7 × 10 = 1540 cm³. / आयतन = πr²h = (22/7) × 7 × 7 × 10 = 22 × 7 × 10 = 1540 सेमी³।

4. A solid metallic sphere is melted and recast into smaller spheres. Which quantity remains conserved, and why? / एक ठोस धातु के गोले को पिघलाकर छोटे गोलों में ढाला जाता है। कौन-सी राशि संरक्षित रहती है और क्यों?
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   The total volume remains conserved because no material is added or lost in melting and recasting, so the volume of the original sphere equals the sum of the volumes of the smaller spheres (though surface area changes). / कुल आयतन संरक्षित रहता है क्योंकि पिघलाने और पुनः ढालने में कोई पदार्थ न जोड़ा जाता है न खोता है, अतः मूल गोले का आयतन छोटे गोलों के आयतनों के योग के बराबर होता है (यद्यपि पृष्ठीय क्षेत्रफल बदल जाता है)।

5. Write the formula for the volume and total surface area of a right circular cone of radius r, height h and slant height l. / त्रिज्या r, ऊँचाई h और तिर्यक ऊँचाई l वाले लंब वृत्तीय शंकु के आयतन और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र लिखिए।
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   Volume = (1/3)πr²h, and total surface area = πr(l + r), where l = √(r² + h²) is the slant height. / आयतन = (1/3)πr²h, और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(l + r), जहाँ l = √(r² + h²) तिर्यक ऊँचाई है।

6. A cone and a cylinder have the same radius and the same height. What is the ratio of their volumes, and why? / एक शंकु और एक बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई समान है। उनके आयतनों का अनुपात क्या है और क्यों?
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   The ratio is 1:3 because the volume of a cone is (1/3)πr²h while the volume of a cylinder is πr²h, so the cone holds one-third the volume of the cylinder of the same base and height. / अनुपात 1:3 है क्योंकि शंकु का आयतन (1/3)πr²h है जबकि बेलन का आयतन πr²h है, अतः समान आधार और ऊँचाई वाले बेलन के आयतन का एक-तिहाई शंकु में समाता है।

7. A hemisphere is mounted on top of a cylinder of the same radius (a 'capsule'-like shape). Describe how you would find its total surface area. / एक बेलन के ऊपर उसी त्रिज्या का अर्धगोला रखा गया है (एक 'कैप्सूल' जैसी आकृति)। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल आप कैसे ज्ञात करेंगे, बताइए।
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   Add the curved surface area of the cylinder (2πrh), the curved surface area of the hemisphere (2πr²) and the area of the bottom circular base (πr²); the joining circular face is not counted as it is internal. / बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (2πrh), अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (2πr²) और निचले वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल (πr²) को जोड़ें; जुड़ने वाला वृत्ताकार फलक नहीं गिना जाता क्योंकि वह आंतरिक है।

8. How is the volume of a frustum of a cone different in concept from that of a full cone? / शंकु के छिन्नक का आयतन पूर्ण शंकु के आयतन से अवधारणा में किस प्रकार भिन्न है?
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   A frustum is the portion of a cone left after the top is cut off by a plane parallel to the base, so its volume is found by subtracting the volume of the small removed cone from the volume of the original full cone, giving (1/3)πh(R² + r² + Rr). / छिन्नक वह भाग है जो शंकु के शीर्ष को आधार के समानांतर तल से काटने के बाद बचता है, अतः इसका आयतन मूल पूर्ण शंकु के आयतन में से हटाए गए छोटे शंकु के आयतन को घटाकर निकाला जाता है, जो (1/3)πh(R² + r² + Rr) देता है।

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