Chapter 1 — Real Numbers

Overview

This chapter introduces the set of real numbers and their fundamental properties, providing a rigorous treatment of divisibility, prime factorization and irrationality that underpins much of secondary-school algebra and number theory. You will study Euclid's division algorithm to compute the highest common factor (HCF), the Fundamental Theorem of Arithmetic (unique prime factorization) and use these ideas to find HCF and LCM. The chapter explains different forms of decimal expansions (terminating and non‑terminating repeating), distinguishes rational and irrational numbers, and contains classical proofs of irrationality (e.g. √2 and more general results). Understanding these concepts helps you manipulate numbers confidently, form and write mathematical proofs, and prepares you for higher topics in algebra, geometry and calculus.

1. State the Fundamental Theorem of Arithmetic. / अंकगणित की आधारभूत प्रमेय बताइए।
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   Every composite number can be expressed (factorised) as a product of primes, and this factorisation is unique apart from the order of the factors. / प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तथा गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर यह गुणनखंडन अद्वितीय होता है।

2. Use Euclid's division algorithm to find the HCF of 56 and 72. / यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करके 56 और 72 का म.स. (HCF) ज्ञात कीजिए।
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   72 = 56×1 + 16; 56 = 16×3 + 8; 16 = 8×2 + 0, so the HCF is 8. / 72 = 56×1 + 16; 56 = 16×3 + 8; 16 = 8×2 + 0, अतः म.स. = 8 है।

3. Find the HCF and LCM of 12 and 18 using prime factorisation, and verify HCF × LCM = product of the numbers. / अभाज्य गुणनखंडन द्वारा 12 और 18 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए तथा सत्यापित कीजिए कि म.स. × ल.स. = संख्याओं का गुणनफल।
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   12 = 2²×3, 18 = 2×3², so HCF = 2×3 = 6 and LCM = 2²×3² = 36; check 6×36 = 216 = 12×18. / 12 = 2²×3, 18 = 2×3², अतः म.स. = 2×3 = 6 तथा ल.स. = 2²×3² = 36; जाँच 6×36 = 216 = 12×18।

4. What is the difference between a rational and an irrational number? / परिमेय और अपरिमेय संख्या में क्या अंतर है?
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   A rational number can be written as p/q with integers p, q and q ≠ 0, while an irrational number cannot be expressed in that form. / परिमेय संख्या को p/q के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0, जबकि अपरिमेय संख्या को इस रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता।

5. Outline the proof that √2 is irrational. / सिद्ध कीजिए कि √2 अपरिमेय है (रूपरेखा दीजिए)।
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   Assume √2 = p/q in lowest terms; then 2q² = p² shows p is even, so p = 2m, giving q² = 2m² which makes q even too, contradicting that p/q is in lowest terms, hence √2 is irrational. / मान लीजिए √2 = p/q निम्नतम रूप में है; तब 2q² = p² दर्शाता है कि p सम है, अतः p = 2m, जिससे q² = 2m² मिलता है जो q को भी सम बनाता है, यह p/q के निम्नतम रूप में होने का विरोधाभास है, अतः √2 अपरिमेय है।

6. What type of decimal expansion does a rational number have? / परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार किस प्रकार का होता है?
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   A rational number has a decimal expansion that is either terminating or non-terminating but repeating (recurring). / परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या असांत परंतु आवर्ती (पुनरावृत्त) होता है।

7. Without long division, state whether 13/3125 has a terminating decimal expansion, giving a reason. / दीर्घ विभाजन के बिना बताइए कि 13/3125 का दशमलव प्रसार सांत है या नहीं, कारण सहित।
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   Since 3125 = 5⁵ has only the prime factor 5 (form 2ⁿ5ᵐ), the decimal expansion of 13/3125 is terminating. / चूँकि 3125 = 5⁵ में केवल अभाज्य गुणनखंड 5 है (रूप 2ⁿ5ᵐ), अतः 13/3125 का दशमलव प्रसार सांत है।

8. How does the Fundamental Theorem of Arithmetic help in finding the HCF and LCM of two numbers? / दो संख्याओं का म.स. और ल.स. ज्ञात करने में अंकगणित की आधारभूत प्रमेय किस प्रकार सहायक है?
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   By writing each number as a unique product of primes, HCF is the product of the smallest powers of common primes and LCM is the product of the greatest powers of all primes involved. / प्रत्येक संख्या को अभाज्यों के अद्वितीय गुणनफल के रूप में लिखकर, म.स. उभयनिष्ठ अभाज्यों की न्यूनतम घातों का गुणनफल होता है तथा ल.स. सभी अभाज्यों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है।

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