Chapter 2 — Polynomials

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1. Define a polynomial and state its degree. / बहुपद को परिभाषित कीजिए तथा इसकी घात बताइए।
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   A polynomial in x is an expression of the form a_n xⁿ + ... + a_1 x + a_0 with real coefficients, and its degree is the highest power of x with a non-zero coefficient. / x में बहुपद a_n xⁿ + ... + a_1 x + a_0 रूप का व्यंजक है जिसके गुणांक वास्तविक होते हैं, और इसकी घात x की वह उच्चतम घात है जिसका गुणांक शून्येतर हो।

2. What is a zero (root) of a polynomial p(x)? / बहुपद p(x) का शून्यक (मूल) क्या होता है?
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   A zero of p(x) is a value k of x for which p(k) = 0. / p(x) का शून्यक x का वह मान k है जिसके लिए p(k) = 0 होता है।

3. How many zeroes can a linear, quadratic and cubic polynomial have respectively? / एक रैखिक, द्विघात तथा त्रिघात बहुपद के क्रमशः कितने शून्यक हो सकते हैं?
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   A linear polynomial has at most one zero, a quadratic at most two, and a cubic at most three, equal to the degree of the polynomial. / रैखिक बहुपद के अधिकतम एक, द्विघात के अधिकतम दो तथा त्रिघात के अधिकतम तीन शून्यक होते हैं, जो बहुपद की घात के बराबर होते हैं।

4. For a quadratic ax² + bx + c with zeroes α and β, state the relation between zeroes and coefficients. / द्विघात ax² + bx + c, जिसके शून्यक α और β हैं, के लिए शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध बताइए।
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   Sum of zeroes α + β = −b/a and product of zeroes αβ = c/a. / शून्यकों का योग α + β = −b/a तथा शून्यकों का गुणनफल αβ = c/a होता है।

5. Find the zeroes of the quadratic polynomial x² − 5x + 6. / द्विघात बहुपद x² − 5x + 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
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   Factorising, x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), so the zeroes are x = 2 and x = 3. / गुणनखंडन करने पर x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), अतः शून्यक x = 2 तथा x = 3 हैं।

6. Form a quadratic polynomial whose zeroes are 3 and −2. / ऐसा द्विघात बहुपद बनाइए जिसके शून्यक 3 और −2 हों।
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   Sum = 1 and product = −6, so the polynomial is x² − (sum)x + product = x² − x − 6. / योग = 1 तथा गुणनफल = −6, अतः बहुपद x² − (योग)x + गुणनफल = x² − x − 6 है।

7. How can the number of zeroes of a polynomial be determined from its graph? / किसी बहुपद के आलेख से उसके शून्यकों की संख्या कैसे ज्ञात की जा सकती है?
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   The number of zeroes equals the number of points where the graph of y = p(x) intersects (cuts) the x-axis. / शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ y = p(x) का आलेख x-अक्ष को काटता है।

8. State the Division Algorithm for polynomials. / बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथम बताइए।
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   For polynomials p(x) and g(x) ≠ 0, there exist q(x) and r(x) such that p(x) = g(x)·q(x) + r(x), where r(x) = 0 or degree of r(x) < degree of g(x). / बहुपद p(x) तथा g(x) ≠ 0 के लिए ऐसे q(x) और r(x) विद्यमान होते हैं कि p(x) = g(x)·q(x) + r(x), जहाँ r(x) = 0 अथवा r(x) की घात < g(x) की घात।

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